單擊以編輯,母版標題樣式,,單擊以編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,第二講,研究函數(shù)與極限,,,的,,基本方法,,1,,函數(shù),研究的對象,極限,研究的工具,連續(xù),研究的橋梁,微積分學(xué)的基礎(chǔ),參考,:,,第一章,(,第一節(jié),,,第二節(jié),),(,英,1642-1727),(,德,1646-1716),(,法,1789-1857),,2,,,1-1,函數(shù)和連續(xù)的概念、性質(zhì)和應(yīng)用,一,.,方法指導(dǎo),1.,對函數(shù)的理解和討論,(1),定義,定義域,對應(yīng)規(guī)律,值域,基本要素,定義域,使表達式及實際問題有意義的自變量取值集合,.,對應(yīng)規(guī)律,表示方式,:,圖象法,;,表格法,.,解析法,;,值域,,3,,(2),基本特性,有界性,,,單調(diào)性,,,奇偶性,,,周期性,.,(3),基本結(jié)構(gòu),基本初等函數(shù),復(fù)合運算,反演運算,初等函數(shù),非初等函數(shù),分段函數(shù),級數(shù)表示的函數(shù),…………,四則運算,有限次運算且用一個式子表示,,4,,(4),常用的等式與不等式,3,、已知等差,數(shù)列,首,a,1,和公差,d,，,則,的通項可表示為：,前,n,項的和為,S,,n,,,即,特別,,5,,4,、 等比數(shù)列的前,n,,項和的公式,設(shè)等比數(shù)列,前,n,項的和為,S,,n,,,即,根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，,上式可以寫成：,上式兩邊同時乘以,q,,有：,上（,1,）式兩邊分別減去（,2,）式的兩邊得：,當,時,特別,,6,,2.,函數(shù)的連續(xù)與間斷,(1),連續(xù)性的等價形式,在,連續(xù),當,時,,7,,(2),閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),(P4 , 5),有界定理,;,最值定理,;,介值定理,;,零點定理,(3),函數(shù)的間斷點,第一類間斷點,可去間斷點,:,跳躍間斷點,:,第二類間斷點,無窮間斷點,振蕩間斷點,二,.,實例分析,,8,,例,1.,,設(shè),其中,求,解,:,,令,則,代入原方程得,即,①,再令,則,代入上式得,即,②,將,①,, ②,兩式與,原方程,聯(lián)立,,,解得,,9,,例,2.,,設(shè),其中,滿足,判斷,的奇偶性,.,解,:,,令,則,故,為奇函數(shù),.,又令,y,= 0 ,,得,故,而,故,為奇函數(shù),.,因此,為偶函數(shù),.,,10,,例,3.,求常數(shù),k,及函數(shù),g,(,x,),,使函數(shù),為連續(xù)的奇函數(shù)。

解,:,連續(xù)的奇函數(shù)有,f,(0) = 0,,即,而,所以,,11,,例,4.,設(shè),求,解,:,當,時,;,當,時,,,,12,,例,5.,,設(shè),證明,但,證,:,,在,(0,1),中取點列,在,(0,1],上無界,,,則有,顯然,,,在,(0,1],上無界,.,但,,,若取點列,則,而,故,(P8.,例,4),,13,,的間斷點,,,并,,x,= –1,,為第一類,可去間斷點,,x,= 1,,為第二類,無窮間斷點,,x,= 0,,為第一類,跳躍間斷點,例,6.,求函數(shù),判別間斷點的類型,.,解,:,所以,,f,(,x,),有間斷點,,14,,例,7.,設(shè)函數(shù),,(2008,考研,),解,:,只有兩個間斷點,則,有（ ）；,1,個可去間斷點，,1,個跳躍間斷點；,1,個可去間斷點，,1,個無窮間斷點；,2,個跳躍間斷點；,2,個無窮間斷點為可去間斷點；,,為跳躍間斷點15,,例,8.,,討論下述函數(shù)的連續(xù)與間斷問題,(P8.例5(1)),解,:,顯然,,,在區(qū)域,上連續(xù),.,因,故,x,=1,,為第二類無窮間斷點,.,,16,,1-2,求極限的方法,,(P13,第二節(jié),),一,.,方法指導(dǎo),1.,求極限的基本方法,(P16-P19),(1),已知極限值利用極限定義驗證,(,用“,?,,-,N,,”,或 “,?,,-,?,”,語言,),(2),未知極限值,先判別極限存在后再求極限,根據(jù)法則演算,,,判定與計算同時進行,.,,17,,求極限的基本方法,,,,1,）用驗證極限的定義。

8),用極限運算法則與函數(shù)的連續(xù)性求極限,2,）用消去不定型法求極限3,）用有界函數(shù)與無窮小乘積仍為無窮小的結(jié)論求極限5,）用等價無窮小的替代定理求極限6,）用變量代換求極限4,）用兩個重要極限公式求極限7,）用左、右極限存在且相等的方法求極限9,）用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關(guān)系求極限10,）利用極限存在準則求極限18,,12,）用導(dǎo)數(shù)的定義或定積分定義求極限13,）利用微分中值定理求極限14,）利用泰勒公式求極限16,）用無窮級數(shù)的有關(guān)知識求極限11,）用洛必達法則求極限15,）用積分中值定理求極限17,） 其他19,,2.,求未定式的極限的方法,通分,轉(zhuǎn)化,取倒數(shù),轉(zhuǎn)化,取對數(shù),轉(zhuǎn)化,3.,求極限的基本技巧,(1),定式部分應(yīng)盡早求出,;,各種方法注意綜合使用,.,(2),注意利用已知極限的結(jié)果,.,例如,,,當 時,時,速度一個比一個快,.,,20,,(3),善于利用等價無窮小替換,利用麥克勞林公式找等價無窮小,當,時,替換定理,（整個分子、整個分母或分子分母,乘積,的因子）,,21,,～,,～,,～,～,～,～,～,當,x,→ 0,時, 有下列,常用等價無窮小,:,( P16),一般形式，如：,～,～,,22,,設(shè)對同一變化過程,,,?,,,,?,為無窮小,,,說明,:,無窮小的性質(zhì),,,(1),和差取大規(guī)則,:,由,等價,可得簡化某些極限運算的下述規(guī)則,.,若,?,,= o(,?,) ,,例如,,,證明,練習(xí),、求,,,23,,例如,,,(2),和差代替規(guī)則,:,,24,,(3),因式代替規(guī)則,:,界,,,則,例如,,,?,例,4.,求,解,:,原,式,,25,,如,,,利用導(dǎo)數(shù)定義,,,微分中值定理,,,泰勒公式等,求極限,.,3.,判斷極限不存在的主要方法,(P22, 6),(1),對分段函數(shù),,,在界點處討論左右極限,;,(2),利用數(shù)列極限與函數(shù)極限的關(guān)系,;,(3),利用反證法,,,設(shè)極限存在推出矛盾,.,(4),注意用求極限的特殊方法,,26,,例,1.,,求,解,:,原式,二,.,實例分析,,27,,例,2.,,求,型,解,:,令,有,例,3.,求,型,解,:,不能直接用洛必達法則,!,令,則,原式,說明,:,,有許多極限問題可通過變量代換使其簡化,.,再如,, P27,例,7,,28,,例,4.,,求,（洛必達法則或泰勒公式）,2008,考研,,29,,例,5.,,設(shè),解,:,利用前一極限式可令,再利用后一極限式,,,得,可見,是多項式,,,且,求,故,,30,,例,6.,,求,解,:,原式,= 1 .,,31,,例,7.,,求函數(shù),解,:,當,時的,等價無窮小,.,,32,,例,8,時,與,小,，求,C,.,,解,,是等價無窮,則,,33,,練習(xí),已知,，,(1),求,的值，,(2),當,時，,是,求常數(shù),解,由題意,(1),；,的同階無窮小,,,的值。

2012,考研,,34,,(2),因為,，則,可知當,時，,因此,與,x,是同階無窮小，,,35,,例,9.,,求,型,證,:,原式,對指數(shù)用洛必達法則,,36,,例,10,、,求,解,令,則,,37,,例,11,求極限,2010,考研,,38,,解,2011,考研,,39,,當,2011,考研,設(shè),時，,同樣可得,時，,當,原式,,40,,3,、,所以,因為,2012,考研,,41,,解,:,例,12,1,、 求,一般，若,則,,42,,2,、計算,2012,考研,,43,,例,13.,,求,( P43 題21(3) ),解,:,原式,=,利用,～,～,～,,44,,例,14.,,解,:,,因為,當,或,所以,,45,,例,15.,,設(shè),在,x,= 0,的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo),,,且,求,及,的,值,.,解,:,代入,,,得,,46,,例,16.,,求,型,直接用洛必達法則,繁,!,解決辦法,巧用泰勒公式,解,:,見,P70,見,P70,∴ 原式,,47,,說明,利用泰勒公式求極限,(P31,例,12),利用導(dǎo)數(shù)定義求極限,(P29,例,9(1) ; P30,例,10),利用微分中值定理求極限,(P31,例,11),求極限的特殊方法,:,利用定積分定義求極限,(P29,例,9(2)),,48,,例,17,,49,,例,18.,解,:,,原式,,50,,例,19.,,解法,1:,,原式,故,于是,而,試確定常數(shù),a , b,,使,(P34 例14),,51,,例,19.,,解法,2:,,因,試確定常數(shù),a , b,,使,(P34 例14),利用,時,得,,52,,例,20.,解,:,,設(shè),由夾逼準則得,求,,53,,例,21.,設(shè),證明,:,嚴格單調(diào)增加，且有界，則,證明,存在。

時，有,連續(xù)存在，,嚴格單調(diào)增加，且有界，,所以,存在，則,存在或者,存在54,,例,22,,設(shè)數(shù)列,滿足,（,1,）證明,存在，并求之,;,（,2,）計算,解,（,1,）因為,則當,時，,單調(diào)減少又,有下界，根據(jù)準則，,存在，,（,2,）,遞推公式兩邊取極限得,2009,考研,,55,,例,23.,設(shè),證明,:,設(shè),得,則,單調(diào)減少，且有下界，,存在即,,56,,例,24,分解,,57,,例,25,,58,,例,26,,59,,例,27,,60,,例,28.,,小球從,1,,米,高處自由落下,,,每次跳起的高度,減少一半,,,問小球是否會停止運動,?,若會停止,,,何時停止,?,解,:,,已知自由落體運動規(guī)律,設(shè)小球第,k,,次落下的時間為,則小球停止運動的時間為,(,秒,),,61,,閱讀與練習(xí),P13,第二節(jié),(,除,P27,例,8(3) ; P29,例,9(2) ;,,P39,例,20 ; P40,例,21 ),,62,,。